三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　　　.

答案　F+V-E=2

9.(2018湖北,14,5分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,...,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数　　　N(n,3)=n2+n,

正方形数 N(n,4)=n2,

五边形数 N(n,5)=n2-n,

六边形数 N(n,6)=2n2-n,

......

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=　.

答案　1 000

10.(2018北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),...,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+...+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+...+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+...+ak两个数中最大的数.

(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;

(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;

(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)

解析　(1)T1(P)=2+5=7,

T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.

(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},

T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.

当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.

因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,

所以T2(P)≤T2(P').

当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.

因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,

所以T2(P)≤T2(P').

所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.

(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.

考点二　直接证明与间接证明

1.(2018山东,4,5分)用反证法证明命题"设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根"时,要做的假设是(　　)

A.方程x3+ax+b=0没有实根

B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根

C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根

D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根

答案　A

2.(2018江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+...+an-1+an+1+...+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是"P(k)数列".

(1)证明:等差数列{an}是"P(3)数列";

(2)若数列{an}既是"P(2)数列",又是"P(3)数列",证明:{an}是等差数列.

证明　本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,

从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,

所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,

因此等差数列{an}是"P(3)数列".

(2)数列{an}既是"P(2)数列",又是"P(3)数列",因此,

当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①