解　f′(x)＝3ax2－4x＋1.

(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.

当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，

由f′(x)>0，解得x<或x>1；

由f′(x)<0，解得

所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，

在上单调递减，

所以函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，

则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，

即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．

①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；

②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.

综上，a的取值范围为.

题型二　用导数求函数的最值

例4　(2018·贵阳检测)已知函数f(x)＝－lnx.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．

解　(1)f(x)＝－lnx＝1－－lnx，

f(x)的定义域为(0，＋∞)．

∵f′(x)＝－＝，

由f′(x)>0，得01，

∴f(x)＝1－－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，