2019-2020学年人教A版选修2-2 3.1.1数系的扩充和复数的概念 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2   3.1.1数系的扩充和复数的概念  学案第2页

的数集中,该问题能得到圆满解决呢?本节我们就来研究这个问题.

探究点一 复数的概念

思考1 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢?

答 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数.

思考2 如何理解虚数单位i?

答 (1)i2=-1.

(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.

(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.

(4)若i2=-1,那么i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.

思考3 什么叫复数?怎样表示一个复数?

答 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,复数通常用字母z表示,即z=a+bi,这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.

思考4 什么叫虚数?什么叫纯虚数?

答 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b≠0时叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.

思考5 复数m+ni的实部、虚部一定是m、n吗?

答 不一定,只有当m∈R,n∈R,则m、n才是该复数的实部、虚部.

例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数.

①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0.

解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.

反思与感悟 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.

跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由.

(1)实部为-的虚数;

(2)虚部为-的虚数;

(3)虚部为-的纯虚数;

(4)实部为-的纯虚数.

解 (1)存在且有无数个,如-+i等;(2)存在且不唯一,如1-i等;(3)存在且唯一,即-i;(4)不存在,因为纯虚数的实部为0.