2019-2020学年人教A版选修2-2 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.3.3  函数的最大(小)值与导数 学案第3页

解得x=3或x=(舍去).

∵f(3)=-9,f(1)=-1,f(5)=15,

∴当x∈[1,5]时,f(x)的最小值为-9,最大值为15.

类型二 由函数的最值求参数

例2 (1)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.

解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.

求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),

令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).

①当a>0,且x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - f(x) -7a+b b -16a+b

由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.

又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3

∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.

②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.

又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),

∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.

综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

(2)已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.

解 h(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9.

令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,

当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表.

x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) h′(x) + 0 - 0 + h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗

当x=-3时,取极大值28;当x=1时,取极小值-4.