例1　已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)，且f(x)在点(，f())处的切线垂直于y轴．

(1)求实数a的值；

(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值．

解　(1)依题意：f′()＝0，

因为f′(x)＝－3x2＋2ax，

所以－3×()2＋2·a·＝0，所以a＝1.

(2)由(1)知：f(x)＝－x3＋x2＋1，f′(x)＝－3x2＋2x，

令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝.

因为f(0)＝1，f()＝，f(2)＝－3，

所以f(x)max＝，f(x)min＝－3.

反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：

(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；

(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；

(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．

跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x2－cos x，x∈[－，]的值域是________．

答案　[－1，]

解析　f′(x)＝2x＋sin x，

令f′(x)＝0，即2x＋sin x＝0得x＝0，

f(0)＝－cos 0＝－1，f()＝f(－)＝，

∴f(x)的最大值为，f(x)的最小值为－1.

则f(x)的值域为[－1，]．

(2)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]时的最值．

解　f′(x)＝3x2－2ax＋3，

由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，解得a＝5，

∴f′(x)＝3x2－10x＋3.

令f′(x)＝0，即3x2－10x＋3＝0，