2019-2020学年人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.4  生活中的优化问题举例 学案第2页



要点一 用料最省问题

例1 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40千米的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?

解 

如图,由题意知,只有点C位于线段AD上某一适当位置时,才能使总费用最省,设点C距点D为x km,则BC==,又设总的水管费用为y元,依题意有y=3a(50-x)+5a(0

∴y′=-3a+.令y′=0,解得x=30,(x=-30舍去)

在(0,50)上,y只有一个极值点,根据问题的实际意义,函数在x=30处取得最小值,此时AC=50-x=20 (km).

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.

规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象,正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.

跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?

解 设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元,那么由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数(k≠0),它可以由v=10,p=6求得,即k==0.006,于是有p=0.006v3.

又设当船的速度为每小时v海里时,航行1海里所需的总费用为q元,那么每