＝1·(k2－12)＋2·(k2－22)＋...＋k(k2－k2)＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋...＋k(2k＋1)

＝k4＋(－)k2＋(2k＋1)·

＝(k＋1)4－(k＋1)2.

由①②知等式对一切正整数都成立．

反思与感悟　这类猜测存在性问题的思路：若存在a，b，c使等式成立，首先在n＝1,2,3时，等式应成立，因此由n＝1,2,3先把a，b，c求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明存在常数a，b，c使等式成立．

跟踪训练1　若不等式＋＋＋...＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．

解　取n＝1，＋＋＝，

令>⇒a<26，且a∈N*，

所以取a＝25.

下面用数学归纳法证明＋＋...＋>.

①n＝1时，已证结论正确．

②假设n＝k(k∈N*)时，＋＋...＋>，

则当n＝k＋1时，有＋＋...＋＋＋＋＝(＋＋...＋)＋(＋＋－)>＋[＋－]．

因为＋＝>＝＝，

所以＋－>0，

所以＋＋...＋>，

即n＝k＋1时，结论也成立．