二　一般形式的柯西不等式

课后篇巩固探究

A组

1.已知a,b,c均大于0,A=√((a^2+b^2+c^2)/3),B=(a+b+c)/3,则A,B的大小关系是(　　)

A.A>B B.A≥B

C.A

解析因为(12+12+12)·(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,

　　所以(a^2+b^2+c^2)/3≥("(" a+b+c")" ^2)/9,当且仅当a=b=c时,等号成立.

　　又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,

　　所以√((a^2+b^2+c^2)/3)≥(a+b+c)/3.

答案B

2.若x2+y2+z2=1,则x+y+√2z 的最大值等于(　　)

A.2 B.4

C.√2 D.8

解析由柯西不等式,可得[12+12+(√2)2](x2+y2+z2)≥(x+y+√2z)2,即(x+y+√2z)2≤4,因此x+y+√2z≤2("　" /"　" ┤当且仅当x=y=z/√2,即x=1/2,y=1/2,z=√2/2时,等号成立├ "　" /"　" ),即x+y+√2z的最大值等于2.

答案A

3.已知a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=1,x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1,则a1x1+a2x2+...+anxn的最大值是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析∵(a1x1+a2x2+...+anxn)2≤(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)×(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+...+anxn的最大值是1.

答案A

4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则4/a+9/b+16/c的最小值为(　　)

A.81 B.49

C.9 D.7

解析由柯西不等式,可得4/a+9/b+16/c=1/9(a+b+c)·(4/a+9/b+16/c)≥1/9 (√a "·" 2/√a+√b "·" 3/√b+√c "·" 4/√c)^2=1/9·81=9,当且仅当a/2=b/3=c/4,即a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为9.