第2课时　利用导数求解含参数的函数极值问题

课时过关·能力提升

1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,2) B.(1,4)

C.(2,4) D.(-∞,1)或(4,+∞)

解析:∵y=x3-3ax+a,

　　∴y'=3x2-3a.

　　当a≤0,则y'≥0,此时函数在(1,2)内是增加的,无极值点不合题意;

　　当a>0时,令y'=3x2-3a=0,解得x=±√a.

　　易知x=√a为极小值点,∴1<√a<2,∴1

答案:B

2.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则(　　)

A.a=-2,b=4

B.a=-3,b=-24

C.a=1,b=3

D.a=2,b=-4

解析:f'(x)=3x2+2ax+b.由题意,知x=-2和x=4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-2a/3=-2+4,b/3=-2×4,解得a=-3,b=-24.

答案:B

3.若函数f(x)=x^3/3-a/2x2+x+1在区间(1/2 "," 3)内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(2"," 5/2) B.[2"," 5/2) C.(2"," 10/3) D.[2"," 10/3)

解析:因为函数f(x)=x^3/3-a/2x2+x+1,所以f'(x)=x2-ax+1.

　　若函数f(x)=x^3/3-a/2x2+x+1在区间(1/2 "," 3)内有极值点,

　　则f'(x)=x2-ax+1在区间(1/2 "," 3)内有零点.

　　由x2-ax+1=0,得a=x+1/x.

　　因为x∈(1/2 "," 3),所以2≤a<10/3.

　　又因为当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,不符合题意,所以a不能等于2.故选C.

答案:C

4.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(　　)

A.2 B.3 C.6 D.9

解析:函数的导数为f'(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,即12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤((a+b)/2)^2=(6/2)^2=9,当且仅当a=b=3时取到等号.

答案:D

5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)的图像的是(　　)

解析:∵[f(x)ex]'=f'(x)ex+f(x)(ex)'=[f(x)+f'(x)]ex,且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,

　　∴f(-1)+f'(-1)=0;

　　选项D中,f(-1)>0,f'(-1)>0,不满足f'(-1)+f(-1)=0.

答案:D