3.3 导数在研究函数中的应用

3.3.1 单调性

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1.函数y=ax2+c在区间(0,+∞)内单调递增,则a、c应满足的关系是（ ）

A.a＜0,且c=0 B.a＞0,且c是任意实数

C.a＜0,且c≠0 D.a＜0,且c是任意实数

答案：B

解析：研究函数的单调性有两种方法:函数单调性的定义,导数的方法.

f′(x)=2ax,

∵函数f(x)=ax2+c在区间(0,+∞)内单调递增,∴在区间(0,+∞)上f′(x)=2ax＞0恒成立.

∵x＞0,a≠0,∴a＞0.

2.当x＞0时,f(x)=x+,则f(x)的单调递减区间是（ ）

A.(2,+∞) B.(0,2) C.(,+∞) D.(0,）

答案：D

解析：通过导数的方法研究函数的单调性比通过单调性定义研究函数的单调性更快捷,而且应用范围更广.f′(x)=1-,当f′(x)＜0时,-＜x＜0,或0＜x＜,

又∵x＞0,∴0＜x＜.

3.确定下列函数在哪个区间内是增函数,在哪个区间内是减函数:

（1）f(x)=3x2-2x+1;

(2)f(x)=x3-3x+1.

解：(1)f′(x)=6x-2.

令f′(x)＞0,解得x＞.

因此,当x∈(,+∞)时,f(x)是增函数.

再令f′(x)＜0,解得x＜.

因此,当x∈(-∞,)时,f(x)是减函数.

(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).

令f′(x)＞0,解得x＜-1或x＞1.

因此,当x∈(-∞,-1)及(1,+∞)时,f(x)是增函数.

再令f′(x)＜0,

解得-1＜x＜1.

因此,当x∈(-1,1)时,f(x)是增函数.

10分钟训练（强化类训练，可用于课中）

1.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于（ ）

A.2 B.-4 C.-2 D.2

答案：B

解析：f′(x)=2x+2f′(1),可令x=1,