2.3 平面向量的数量积

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.力使一个物体产生的位移为H，F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为( )

A.|F||H|sinα B.|F||H|cosα

C.|F||H|tanα D.|F||H|cotα

解析：由功的物理意义.

答案：B

2.以下命题中，不与"非零向量a、b夹角为钝角"等价的是（ ）

A.非零向量a在非零向量b上的正射影为负值

B.非零向量a、b的内积为负值

C.非零向量a、b的长度皆小于a-b的长度

D.非零向量a、b的平方和大于a+b的平方

解析：由三角形法则知a、b、a-b恰构成一个三角形，

令|a|＜|b|＜|a-b|，且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.

答案：D

3.已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.

解析：向量p在q方向上的正射影值为|p|sθ=2×cos120°=-1.

同理，|q|cosθ=3×cos120°=.

答案：-1

4.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·(b)=-36，则a与b的夹角为____________.

解析：(3a)·(b)=3|a||b|cos〈a，b〉

=3×10××12cos〈a，b〉=-36,∴cos〈a，b〉=.

∵cos〈a，b〉∈［0°，180°］.

∴cos〈a，b〉=120°.

答案：120°

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.下列命题正确的是( )

A.若|a|=|b|，则a=b

B.若a、b为非零向量，则|a-b|＜|a+b|

C.若x、y满足|x+y|=|x|+|y|，则x·y=|x||y|

D.若x、y为非零向量，则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky

解析：对于A，显然不成立；对于B，

|a-b|＜|a+b||a-b|2＜|a+b|2 (a-b)2＜(a+b)2a2+b2-2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；

对于C，|x+y|=|x|+|y||x+y|2=(|x|+|y|)2(x+y)2=|x|2+|y|2+2|x||y|x2+y2+2x·y=

x2+y2+2|x||y|x·y=|x||y|，所以该命题正确；对于D，当且仅当k为正实数时才能成立.