1.(2018·全国Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax^2 )ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0.

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

【命题意图】本题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的极值和最值,考查转化与化归能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.

【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)

=ln(1+x)-x/(1+x).

设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-x/(1+x),则g'(x)=x/("(" 1+x")" ^2 ).

当-10时,g'(x)>0.

故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,当且仅当x=0时,f'(x)=0.

所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.

又f(0)=0,故当-1

当x>0时,f(x)>0.

(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.

(ii)若a<0,设函数h(x)=(f"(" x")" )/(2+x+ax^2 )=ln(1+x)-2x/(2+x+ax^2 ).

由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.

又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点.