2019-2020学年苏教版选修1-1 抛物线的简单几何性质 课时作业
2019-2020学年苏教版选修1-1     抛物线的简单几何性质  课时作业第2页

C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A,B两点,分别交抛物线于E,F两点,圆心M到抛物线准线的距离为17/4.

(1)求抛物线C的方程.

(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,求直线EF的斜率.

(3)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.

【解析】(1)因为点M到抛物线准线的距离为4+p/2=17/4,所以p=1/2,所以抛物线C的方程为y2=x.

(2)因为当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,点H(4,2),

所以kHE=-kHF,

设E(x1,y1),F(x2,y2),所以(y_H-y_1)/(x_H-x_1 )=-(y_H-y_2)/(x_H-x_2 ),

所以(y_H-y_1)/(y_H^2-y_1^2 )=-(y_H-y_2)/(y_H^2-y_2^2 ),所以y1+y2=-2yH=-4.

kEF=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(y_2-y_1)/(y_2^2-y_1^2 )=1/(y_2+y_1 )=-1/4.

(3)设A(x1',y1'),B(x2',y2'),

因为kMA=y_1'/(x_1'-4),所以kHA=(4-x_1')/y_1',

所以直线HA的方程为(4-x1')x-y1'y+4x1'-15=0,

同理直线HB的方程为(4-x2')x-y2'y+4x2'-15=0,

所以(4-x1')y_0^2-y1'y0+4x1'-15=0,(4-x2')y_0^2-y2'y0+4x2'-15=0,

所以直线AB的方程为(4-y_0^2)x-y0y+4y_0^2-15=0,

令x=0,可得t=4y0-15/y_0 (y0≥1),

因为t关于y0的函数在[1,+∞)上单调递增,

所以tmin=-11.即t的最小值为-11.