答案25

8已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为　　　　　.

解析设第一象限中位于抛物线上的矩形的顶点为(x,y),其中00,则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).

　　设矩形的面积为S,则S=2x(4-x2)(0

　　则S'=8-6x2.

　　令S'=0,得x=(2√3)/3或x=-(2√3)/3(舍去).当00;

　　当(2√3)/3

　　因此,当x=(2√3)/3时,S取得极大值,也就是最大值,此时,2x=(4√3)/3,4-x2=8/3.所以矩形的长和宽分别为8/3 和 (4√3)/3时,矩形的面积最大.

答案8/3 和 (4√3)/3

9一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为10海里/时时,燃料费是6元/时,而其他与速度无关的费用是96元/时,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?

分析本题主要考查利用导数解决实际问题.应当先求出比例系数,再利用已知条件将航行1海里的费用总和表示为速度的函数,利用导数求解.

解设速度为v海里/时的燃料费是p元/时,由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数.由v=10,p=6,得k=6/(10^3 )=0.006,于是p=0.006v3.

　　设船的速度为v海里/时时,航行1海里所需的总费用为q元,而每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,航行1海里所需时间为1/v时,所以航行1海里的总费用为q=1/v(0.006v3+96)=0.006v2+96/v(v>0).

　　所以q'=0.012v-96/v^2 =(0"." 012)/v^2 (v3-8 000).

　　令q'=0,解得v=20.

　　因为当0

当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.