1.6 微积分基本定理

学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．

知识点一 微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)

思考 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则ʃ0(1)(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？

答案 由定积分的几何意义知，ʃ0(1)(2x＋1)dx＝2(1)×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故ʃ0(1)(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．

梳理 (1)微积分基本定理

①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；

②结论：ʃa(b)f(x)dx＝F(b)－F(a)；

③符号表示：ʃa(b)f(x)dx＝F(x)|a(b)＝F(b)－F(a)．

(2)常见的原函数与被积函数关系

①ʃa(b)cdx＝cx|a(b)(c为常数)．

②ʃa(b)xndx＝xn＋1(1)a(b)(n≠－1)．

③ʃa(b)sin xdx＝－cos x|a(b).

④ʃa(b)cos xdx＝sin x|a(b).

⑤ʃa(b)x(1)dx＝ln x|a(b)(b>a>0)．

⑥ʃa(b)exdx＝ex|a(b).

⑦ʃa(b)axdx＝ln a(ax)a(b)(a>0且a≠1)．

⑧ʃa(b)dx＝ EMBED Equation.DSMT4 (2)a(b)(b>a>0)．

知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系

思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？