2018-2019学年人教A版选修2-2 §1.6 微积分基本定理 学案
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§1.6 微积分基本定理

学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

知识点一 微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)

思考 已知函数f(x)=2x+1,F(x)=x2+x,则ʃ(2x+1)dx与F(1)-F(0)有什么关系?

答案 由定积分的几何意义知,ʃ(2x+1)dx=×(1+3)×1=2,F(1)-F(0)=2,故ʃ(2x+1)dx=F(1)-F(0).

梳理 (1)微积分基本定理

①条件:f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x);

②结论:ʃf(x)dx=F(b)-F(a);

③符号表示:ʃf(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a).

(2)常见的原函数与被积函数关系

①ʃcdx=cx|(c为常数).

②ʃxndx=(n≠-1).

③ʃsin xdx=-cos x|.

④ʃcos xdx=sin x|.

⑤ʃdx=ln x|(b>a>0).

⑥ʃexdx=ex|.

⑦ʃaxdx=(a>0且a≠1).

⑧ʃdx=(b>a>0).

知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系

思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗?

答案 当被积函数f(x)≥0恒成立时,定积分与曲边梯形的面积相等,若被积函数f(x)≥0不恒成立,则不相等.

梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积为S下,则

(1)当曲边梯形在x轴上方时,如图①,则ʃf(x)dx=S上.