2019-2020学年北师大版选修2-2 变化率问题导数的概念 学案

1．函数的变化率

定义 实例 平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作： ①平均速度；②曲线割线的斜率 瞬时变化率 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率 2.函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .

情境导学]

某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温"陡增"14.8℃，闷热中的人们无不感叹："天气热得太快了！"但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得"太快"，而后者变化得"缓慢"，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？

探究点一　平均变化率的概念

思考1　气球膨胀率

很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？

答　气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ ，

(1)当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了

r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，

气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．

(2)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，