§1.3　导数在研究函数中的应用

1．3.1　函数的单调性与导数(一)

学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

知识点一　函数的单调性与导函数的关系

思考　观察图中函数f(x)，填写下表．

导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性 f′(x)>0 k>0 锐角 上升 递增 f′(x)<0 k<0 钝角 下降 递减

梳理　一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，

(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．

知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．

1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　×　)

2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　×　)