第一章导数及其应用 1.3导数在研究函数中的应用2

------------ 学 案

一、学习目标

　1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．

　2．掌握函数极值的判定及求法．

　3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

二、自主学习

　(1) 函数极值定义

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极大值=f(x0)，x0是 .

如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞ f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极小值= f(x0)，x0是 .极大值与极小值统称为极值.

(2) 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

　　若满足，且在的两侧的导数 ，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足"左正右负"，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足"左负右正"，则是的极小值点，是 .

(3) 求可导函数f(x)的极值的基本步骤:

　　 (1)确定函数的定义区间，求 .

(2)求方程f′(x)=0的 .

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的 ，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 .

三、合作探究

题型一 求函数的极值

　　例1 设函数（）,其中,求函数的极大值和极小值．

　　思路导析: 先求函数的导数，再令导函数为零,求可疑极值点,最后列表判断极值,并求出极值.

　解：，．

令，解得或．由于，当变化时，的正负如下表：