1.2 椭圆的简单性质

自主整理

椭圆+=1(a＞b＞0)的几何性质

1.对称性:关于______________对称.椭圆的对称中心叫作椭圆的______________.

2.范围:______________,这说明该椭圆位于直线______________和______________所围成的矩形里.

3.顶点:四个顶点的坐标分别为______________、______________,长轴的长是______________,短轴的长是______________.

4.离心率:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫做椭圆的____________.其中e∈___________.当e越接近于时____________,椭圆越扁;当e越接近于时____________,椭圆越圆.

高手笔记

1.并非所有的椭圆的方程形式都是标准方程形式.对于方程形式不是标准方程的椭圆,同样具有类似于标准方程的椭圆所具有的性质,那样的椭圆同样具有顶点、对称轴、对称中心、离心率等,只不过其顶点未必还在坐标轴、其对称轴还是两条坐标轴罢了.

2.椭圆的焦半径公式

若r1、r2分别表示椭圆+=1(a＞b＞0)上一点P(x0,y0)与两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0)间的距离,则r1=a+ex0;r2=a-ex0.这个椭圆上所有的点与焦点F1(-c,0)的最近距离与最远距离分别是a-c、a+c.

名师解惑

1.如何根据曲线的方程来讨论曲线关于x轴、y轴、原点的对称性?

剖析:在根据曲线的方程讨论曲线是否关于x轴对称时,只要将相应方程中的y换成-y,看新方程是否发生实质性的变化(相对于原方程而言,所谓是否发生实质性的变化是指新方程与原方程是否等价),如果没有发生实质性的变化,则说明相应的曲线关于x轴对称;否则对应的曲线就不关于x轴对称.这是因为,如果没有发生实质性的变化,说明该曲线上任一点关于x轴的对称点仍在该曲线上〔因为在平面直角坐标系下点(x,y)关于x轴的对称点的坐标是(x,-y),所以将原方程中的y换成-y〕.同理,只要将相应方程中的x换成-x,如果相应的方程没有发生实质性变化,说明对应的曲线关于y轴对称;将相应方程中的x、y分别同时换成-x、-y,如果相应的方程没有发生实质性变化,说明对应的曲线关于原点对称.

2.课本中只针对椭圆的标准方程形式来讨论了相应的椭圆所具有的性质,对于其方程不是标准方程(或经过变形也不能转化为标准方程的形式)的椭圆是否也具有相似的性质呢?

剖析:凡是椭圆都具有类似于课本中所研究的椭圆所具有的性质.只不过对于具体的椭圆就不能照抄方程为标准形式的椭圆所具有的性质而已.比如,方程形式不是标准方程的椭圆其顶点坐标、对称轴、对称中心等都会有所不同.

讲练互动

【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);

(2)长轴长为20,离心率等于.

解析:根据椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程.