3.2　空间向量在立体几何中的应用

3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程

　　学习目标：1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点).2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点).3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．用向量表示直线或点在直线上的位置

　　用向量表示直线或点在直线上的位置

　　(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有\s\up8(→(→)＝ta或\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→)＋ta或\s\up8(→(→)＝(1－t)\s\up8(→(→)＋t\s\up8(→(→)(\s\up8(→(→)＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．

　　(2)线段AB的中点M的向量表达式\s\up8(→(→)＝(\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→))．

　　2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

　　(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.

　　(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

　　(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.

　　3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

　　设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|.

　　[基础自测]

　　1．思考辨析

(1)直线l的方向向量是唯一的．(　　)