直线与圆锥曲线的位置关系

　　基础知识整合

　　1．直线与圆锥曲线的位置关系

　　要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：

　　Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.

　　若Δ<0，则直线与圆锥曲线\s\up5(01(01)没有公共点；

　　若Δ＝0，则直线与圆锥曲线\s\up5(02(02)有且只有一个公共点；

　　若Δ>0，则直线与圆锥曲线\s\up5(03(03)有两个不同的公共点．

　　2．弦长公式

　　直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长

　　|AB|＝\s\up5(04(04)

　　＝\s\up5(05(05)

　　＝\s\up5(06(06) ·.

　　再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．

　　3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题

　　中点弦问题常用"根与系数的关系"或"点差法"求解．

　　(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．

　　(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．

　　解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法

　　(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．

　　(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．

　　(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．