课堂导学

三点剖析

一、求函数极值

【例1】确定函数f(x)=在区间［-2，2］上的单调性并求f(x)在区间［-2，2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.

解析：由已知得f′(x)=.

令f′(x)=0，解得x=-1或x=1.列出下表：

　　x 　　-2 　　(-2,-1) 　　-1 　　(-1,1) 　　1 　　(1,2) 　　2 　　f′(x) 　　 　　- 　　0 　　+ 　　0 　　- 　　 　　f(x) 　　 　　 　　极小值 　　 　　极大值 　　 　　 由表可知:f（x)的极小值是f(-1)==;极大值是f(1)=.

又f(-2)=,f(2)=,

∴f(x)在区间［-2，2］上的最大值是，最小值是.

温馨提示

对任意实数x，x2+1≠0，

即函数f(x)=的定义域为R.又∵=0,

∴f(x)在R上的最大值与最小值还分别为和.

又f(0)=0.

∴函数f(x)= 在R上的值域为［，］.

二、极值的应用

【例2】已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间.

思路分析：根据极值点就是导函数对应方程的根建立一个关于a、b的方程.再由已知极值点和极值建立一个关于a、b的方程.最后通过解方程组求出a、b的值.

解析：由已知，得f(1)=1-3a+2b=-1,

又f′(x)=3x2-6ax+2b ①

∴f′(1)=3-6a+2b=0 ②

由①②得a=,b=-.