对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．

"比较法"构造函数 　　　(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．

　　(1)求a的值及函数f(x)的极值；

　　(2)证明：当x＞0时，x2＜ex．

　　　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a．

　　因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，

　　所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，

　　令f′(x)＝0，得x＝ln 2，

　　当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

　　当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

　　所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．

　　(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x．

　　由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，

　　故g(x)在R上单调递增．

　　所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜ex．

　　在本例第(2)问中，发现"x2，ex"具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的"x2＜ex"构造函数，得到"g(x)＝ex－x2"，并利用(1)的结论求解．

　　已知函数f(x)＝，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线，求证：f(x)≤g(x)．

　　证明：函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．

　　令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，

则h′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝－＝．