2018-2019学年人教A版选修4-5 3.2一般形式的柯西不等式 教案
2018-2019学年人教A版选修4-5   3.2一般形式的柯西不等式   教案第1页

3.2 一般形式的柯西不等式

  一、教学目标

  1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.

  2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.

  二、课时安排

  1课时

  三、教学重点

  1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.

  2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.

  四、教学难点

  1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.

  2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.

  五、教学过程

  (一)导入新课

  已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值.

  【解】 由柯西不等式得

  (x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2.

  ∵x+2y+z=1,

  ∴3(x2+4y2+z2)≥1,即x2+4y2+z2≥.

  当且仅当x=2y=z=,即x=,y=,z=时等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为.

  (二)讲授新课

  教材整理1 三维形式的柯西不等式

  设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则(a+a+a)·(b+b+b)≥

  .当且仅当 或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式.

  教材整理2 一般形式的柯西不等式

  设a1,a2,a3,...,an,b1,b2,b3,...,bn是实数,则

  (a+a+...+a)(b+b+...+b)≥ .当且仅当bi=0(i=1,2,...,n)或存在一个数k,使得ai= (i=1,2,...,n)时,等号成立.

  (三)重难点精讲

题型一、利用柯西不等式求最值