课堂导学

三点剖析

一、利用柯西不等式证明不等式

【例1】 设α、β∈（0，），试用柯西不等式证明

≥9.

证明:∵

又cos2α＋sin2α·sin2β+sin2α·cos2β=1,

∴(cos2α+sin2α·sin2β+sin2α·cos2β)·

()≥(1+1+1)2=9.

∴≥9.

温馨提示

由于右式常数为9=(1+1+1)2,因此左式应有三项，于是想到把拆成两项.凑项、凑常数是柯西不等式证题时常用的一种基本技巧.

各个击破

类题演练1

设a、b、c∈R+，证明≥(a+b+c).

证明:

∵a、b、c＞0，

∴2(a+b+c)=［(a+b)+(b+c)+(c+a)］.

∴［(b+c)+(c+a)+(a+b)］()≥(a+b+c)2.

∴≥(a+b+c).

变式提升1

设x1，x2,...，xn∈R+,求证：