≥x1+x2+...+xn.

证明:∵x1,x2,...,xn∈R+,

∴(x2+x3+x4+...+xn+x1)()≥(x1+x2+...+xn)2.

∴≥x1+x2+...+xn.

温馨提示

为了证明不等式，把x1+x2+...+xn中的x1的位置移至最后，在应用柯西不等式时解决了大问题，不要小瞧这一小小的技巧哟!

二、利用柯西不等式证条件不等式

【例2】 a、b、c∈R+，且a+b+c=1,求证：

(a+)2+(b+)2+(c+)2≥.

证明：

∵(12+12+12)［(a+)2+(b+)2+(c+)2］≥［(a+)+(b+)+(c+)］2=［1+(++)］2,

而(a+b+c)(++)≥(1+1+1)2=9,

即++≥9,∴［1+(++)］2≥100.

∴(a+)2+(b+)2+(c+)2≥.

温馨提示

证明条件不等式的关键是如何恰当地利用好条件.本题注意到要证的不等式左边是平方和的形式，而已知条件中a+b＋c=1是一次式，于是想到利用柯西不等式变形，建立起a、b、c之间的关系，以便用上条件.

类题演练2

已知a1,a2,...,an都是正数，且a1+a2+...+an＝1，求证：

(a1+)2+(a2+)2+...+(an+)2≥.

证明:原不等式等价于

n［(a1+)2+(a2+)2+...+(an+)2］≥(n2+1)2.

∵(12+12+...+12)·［(a1+)2+(a2+)2+...+(an+)2］≥［(a1+)+(a2+)+...+(an+)］2