3.1　双曲线及其标准方程

学习目标 重难点 1．能说出双曲线的定义及双曲线的标准方程．

2．能由双曲线方程指出顶点坐标、焦点坐标．

3．会求简单的双曲线方程. 重点：双曲线的定义及求简单的双曲线方程．

难点：双曲线的标准方程的两种形式及利用双曲线解决简单问题. 　　

　　1．双曲线的定义

　　我们把平面内到两定点F1，F2的________的________等于__________________________的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离叫作双曲线的______．

　　预习交流1

　　(1)议一议：定义中为何规定到定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数，且该常数的值大于零且小于|F1F2|?

　　(2)想一想：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，若没有"绝对值"，则动点的轨迹是什么？

　　2．双曲线的标准方程

　　(1)如果焦点F1，F2在x轴上，双曲线的标准方程为____________________________，其焦点坐标为__________________，其中c2＝____________.

　　(2)如果焦点F1，F2在y轴上，双曲线的标准方程为______________________________，其焦点坐标为________________，其中c2＝______________.

　　预习交流2

　　若方程－＝1为双曲线的方程，则m，n满足什么条件？能否断定此时焦点在x轴上？为什么？

　　答案：1．距离之差　绝对值　常数(大于零且小于|F1F2|)　焦点　焦距

　　预习交流1：

　　(1)提示：设该距离之差的绝对值为2a，当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．

　　故只有当到定点F1，F2的距离之差的绝对值大于零且小于|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．

　　(2)提示：若没有"绝对值"，则动点的轨迹是双曲线的一支．若设动点为点M，则当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支．

　　2．(1)－＝1(a＞0，b＞0)　F1(－c,0)，F2(c,0)

　　a2＋b2

　　(2)－＝1(a＞0，b＞0)　F1(0，－c)，F2(0，c)

a2＋b2