3.1.3 空间向量的数量积运算

　　学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．空间向量的夹角

　　(1)夹角的定义

　　图3115

　　已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作→(OA)＝a，→(OB)＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

　　(2)夹角的范围

　　空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝2(π)时，两向量垂直，记作a⊥b.

　　2．空间向量的数量积

　　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

　　(2)数量积的运算律：

数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 　　(3)空间两向量的数量积的性质：

向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0