3.1.3　空间向量的数量积运算

学习目标　1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．

知识点一　空间向量的夹角

思考　〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？

答案　〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．

梳理　(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝.

知识点二　数量积的概念及运算律

1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数

量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

2．空间向量数量积的性质

(1)a⊥b⇔a·b＝0.

(2)|a|2＝a·a，|a|＝.

(3)cos〈a，b〉＝.

3．空间向量数量积的运算律

(1)(λa)·b＝λ(a·b)．

(2)a·b＝b·a(交换律)．

(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．

特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．