第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用

------------ 学 案

一、学习目标

1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法．

2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.

3.会用定积分解决简单的物理问题．(如变力做功、变速运动等)

二、自主学习

1．常见图形的面积与定积分的关系

(1)如图1，当f(x)>0时，f(x)dx 0，所以S＝ ；

(2)如图2，当f(x)<0时，f(x)dx 0，所以S＝|f(x)dx|＝ ；

(3)如图3，当a≤x≤c时，f(x)<0，f(x)dx 0；当c≤x≤b时，f(x)>0，f(x)dx 0，所以S＝|f(x)dx|＋f(x)dx＝ ＋ .

(4)如图4，在公共积分区间[a，b]上，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝(f1(x)－f2(x))dx＝ .

2.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 .

3.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

1．关于定积分几何意义的补充

定积分f(x)dx，|f(x)|dx与|f(x)dx|的几何意义不同，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，因而它的图象可都在x轴的上方，也可都在x轴的下方，还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的曲边梯形的面积的代数和；而被积函数|f(x)|是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间[a，b]上以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积，而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝