椭圆及其标准方程

1.了解椭圆的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆的过程和其标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程． 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．

难点：椭圆标准方程的建立和推导． 方 法：合作探究 一新知导学

椭圆的定义

1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为____________________,那么平面内到两定点距离的和（或差）等于常数的点的轨迹是什么呢？

2．平面内与两个定点F1、F2的距离的________等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合），叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于| F1 F2|时轨迹为____________，当常数小于| F1 F2 |时，轨迹__________．

牛刀小试1

1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，

1）动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是______________.

2）动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是____________.

椭圆标准方程

若椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为 （a>b>0）

若椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程为 （a>b>0）

若不能确定焦点的位置，就需分类讨论；或避免讨论

利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B))；

牛刀小试2

1．椭圆＋＝1的焦点坐标是（ ）

　　A（±5,0）　　　B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12,0）

2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1）两个焦点的坐标分别是（－3,0），（3,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8；

2）两个焦点的坐标分别为（0，－4），（0,4），并且椭圆经过点（，－）．

（一）椭圆的定义

【例一】1）椭圆＋＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个点的距离为（ ） A．4　　　B．6　　　C．8　　　D．2

2）如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)

　　 A.3 C．3

跟踪训练1

1）对于常数m、n，"mn>0"是"方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆"的（ ）

　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

　　C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2）椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F2交椭圆于P、Q两点，则△PQF1的周长为__________.

（二）求椭圆的标准方程

【例二】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1）两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

2）焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；

3）经过两点(2，－)，(－1，)．

跟踪训练2

1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2），且过点（－，），则椭圆的标准方程为__________.

　　2）已知椭圆经过点（，），（，－），求其标准方程．

（三）焦点三角形问题

【例3】如图所示，已知点P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．

　　如图所示，已知点P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．

分析：解焦点三角形问题常用 几何法、代数法

跟踪训练3

　　已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为(　　)

　　A．9 B．12 C．10 D、8 A

（四）定义法解决轨迹问题

【例4】、已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．

跟踪训练4

已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．

课时小结：

课后作业：

　　一、选择题

1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是(　　)

　　A．2 B． C． D．2.

2．(2015·广东文)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)

　　A．2 B．3 C．4 D．9

3．(2015·海南中学期中考试)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝(　　)

　　A．11 B．10 C．9 D．16

4．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________ ________.

5．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__________ ________.

三、解答题

6．根据下列条件，求椭圆的标准方程．

　　(1)经过两点A(0,2)，B(，)；

　　(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．

答案

牛刀小试1

1）以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 2）线段F1F2

牛刀小试2 1、C 2、B 3、1）＋＝1 2）＋＝1

例一B C 跟踪训练1 B 20

例二答案

　　1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，

　　∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9.

　　∴椭圆的标准方程为＋＝1.

　　2）解法一：∵椭圆的焦点在y轴上，

　　∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

　　由椭圆的定义知

　　2a＝＋＝12，

　　所以a＝6.

　　又c＝2，所以b2＝a2－c2＝32.

　　∴椭圆的标准方程为＋＝1.

　　3）解法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

　　将两点(2，－)，(1，)代入，

　　得，解得.

跟踪训练2

(1)(定义法)

　　由椭圆的定义知，

　　2a＝＋＝2，

　　∴a＝.

　　又c＝2，∴b2＝6.

　　又∵椭圆的焦点在y轴上，

　　∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)(待定系数法)

　　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，把点(，)，(，－)分别代入方程，列方程组为解得A＝，B＝1，

∴椭圆标准方程为＋y2＝1.

例三分析：　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，

　　∴c＝＝1，

　　又∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 ①

　　由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4 ②

　　①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20 ③

　　③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，

　　∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)，

　　∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4

跟踪训练3 A

　　例4　以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．

　　由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.

　　由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

　跟踪训练4

　　如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径

　　由题意得动圆M和内切于圆C1，

　　∴|MC1|＝13－r.

　　圆M外切于圆C2，

　　∴|MC2|＝3＋r.

　　∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，

　　∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，

　　且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，

　　故所求椭圆方程为＋＝1.

　　 [答案]　D　B　A ＋＝1 　8

6 、 1）x2＋＝1. 2） ＋＝1 课堂随笔:

后记与感悟: