§2　充分条件与必要条件

学习目标 重难点 1．能正确地理解充分条件、必要条件、充要条件．

2．能根据命题的真假判断充分条件、必要条件．

3．会分析一个命题的充要条件，并给予证明. 重点：充分条件、必要条件的概念．

难点：判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．

关键：分清命题的条件和结论. 　　

　　1．充分条件的定义

　　"若p，则q"形式的命题为真命题是指：____________________，通常记作：______，读作"p推出q"，此时我们称p是q的________．

　　预习交流1

　　(1)判定定理中的条件是结论的充分条件你是怎样理解的？

　　(2)议一议：p是q的充分条件和p的充分条件是q是一回事吗？

　　2．必要条件的定义

　　如果"若p，则q"形式的命题为真命题，即______，称____________，同时，我们称______的________．

　　预习交流2

　　想一想：对p是q的充分条件和q是p的必要条件你是怎样理解的？

　　3．充要条件的定义

　　(1)如果"若p，则q"形式的命题为______，即______，同时"若q，则p"也为______，即______，由于pq，所以p是q的________；由于qp，所以p是q的________，在这种情况下，我们称p是q的__________，简称________．

　　(2)我们常用"________"来表达充要条件．p是q的充要条件也可以说成：p成立__________成立．如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们通常称命题p和命题q是两个相互________．

　　预习交流3

　　思考：如果p是q的充要条件，则命题"若p，则q"和它的逆命题的真假性如何？

　　答案：1．由条件p可以得到结论q　p⇒q　充分条件

　　预习交流1：(1)提示：只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，也就是说，为了得到结论，具备条件p就足够了，可表示为p⇒q.

　　(2)提示：p是q的充分条件是指p是条件，q是结论．即p⇒q；

　　p的充分条件是q是指q是条件，p是结论，即q⇒p.

　　2．p⇒q　p是q的充分条件　q是p　必要条件

　　预习交流2：提示：p是q的充分条件和q是p的必要条件都可得出"若p，则q"是真命题，即p⇒q，对同一个真命题，条件是结论的充分条件，而结论是条件的必要条件．

　　3．(1)真命题　p⇒q　真命题　q⇒p　充分条件

　　必要条件　充分必要条件　充要条件　(2)当且仅当

当且仅当q　等价命题