典题精讲

例1若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为（ ）

A.30° B.45° C.90° D.135°

思路解析：设a与b的夹角为θ，∵（a-b）·a=0.

∴|a|2-b·a=0.

∴b·a=1.∴cosθ==.

又∵0°≤θ≤180°，

∴θ=45°.

答案：B

绿色通道：求向量a与b的夹角的步骤：

（1）计算b·a，|a|，|b|；

（2）计算cos〈a，b〉；

（3）根据范围确定夹角的大小.

变式训练1已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

思路分析：求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.

解：∵（a+3b）⊥（7a－5b）,

∴（a+3b）·（7a－5b）=0.

∴7a2+16a·b－15b2=0.①

又∵（a－4b）⊥（7a－2b）,

∴（a－4b）·（7a－2b）=0.

∴7a2－30a·b+8b2=0.②

①－②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.

代入①式，得7|a|2+8|b|2－15|b|2=0，

故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.

∴cos〈a，b〉=.

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=60°，

即a与b的夹角为60°.

变式训练2已知△ABC中，a=5，b=8，·=-20，试求C.

有个同学求解如下：

解：如图2-5-4，∵||=a=5，||=b=8，