【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版选修2—1)空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版选修2—1)空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示第1页

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

  

  

  知识点一 向量基底的判断

  

  已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,那么向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底吗?为什么?

  解 ∵a+b,a-b,c不共面,能构成空间一个基底.

  假设a+b,a-b,c共面,则存在x,y,

  使c=x(a+b)+y(a-b),∴c=(x+y)a+(x-y)b.

  从而由共面向量定理知,c与a,b共面.

  这与a、b、c不共面矛盾.

  ∴a+b,a-b,c不共面.

  【反思感悟】 解有关基底的题,关键是正确理解概念,只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底.

以下四个命题中正确的是( )

  A.空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

  B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则a,b,c全不是零向量

  C.△ABC为直角三角形的充要条件是·\s\up6(→(→)=0

  D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

  答案 B

  解析 使用排除法.因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故A不正确;△ABC为直角三角形并不一定是·\s\up6(→(→)=0,可能是\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)=0,也可能是\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)=0,故C不正确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的,故D不正确,故选B.

  

知识点二 用基底表示向量

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,-*6]·\s\up6(→(→)=a,\s\up6(→(→)=b,\s\up6(→(→)=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q是CA′上的点,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:

  (1) ; (2)\s\up6(→(→);

  (3) ; (4)\s\up6(→(→).

解 连结AC、AD′.