椭圆的简单几何性质

学习目标 1.理解椭圆的简单几何性质．2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题． 重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．难点：椭圆的几何性质的实际应用． 方 法：自主学习 合作探究 师生互动 一 新知导学

　　1． 观察椭圆的图形可以发现，椭圆是______对称图形，也是______对称图形．椭圆的对称中心叫做椭圆的______．

2．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)与它的对称轴共有四个交点，即A1、A2和B1、B 2，这四个点叫做椭圆的______，线段A1A2叫做椭圆的______，它的长等于______；线段B1B2叫做椭圆的______，它的长等于______.显然，椭圆的两个焦点在它的______上．

3．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的__________．

4．依据椭圆的几何性质填写下表：

5.离心率对椭圆扁圆程度的影响

　　在Rt△BF2O中，e＝＝cos∠BF2O则0

e越大，∠BF2O越 ，椭圆越 ；e越小，∠BF2O越 ，椭圆越 ．

6.根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质可分为两类：

一类是与坐标系无关的本身固有性质，如____________、_______、________；一类是与坐标系有关的性质，如______、______．

牛刀小试1

1．(2015·陕西师大附中期中考试)点（2,3）在椭圆 ＋＝1上，则（ ）

A．点（－2,3）不在椭圆上 B．点（－2，－3）不在椭圆上

C．点（2，－3）在椭圆上

D．无法判断点（－2,3）（－2，－3）（2，－3）是否在椭圆上

2．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为(　　)

　　A．－1　　　B．1 C． D．－

3．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为____________.

4．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

　　题型（一）根据椭圆的方程研究几何性质

【例一】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

跟踪训练1

已知两椭圆＋＝1与＋＝1(0

　　①有相等的长轴；②有相等的短轴；③有相同的焦点；④有相等的焦距．

　　题型（二）利用椭圆的几何性质求标准方程

【例二】求适合下列条件的椭圆的标准方程．

　　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；

　　(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.

跟踪训练2

　　已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为__________.

　　题型（三）求椭圆的离心率

　　【例三】A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

跟踪训练3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．

题型（四）直线与椭圆的位置关系

【例四】若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．

跟踪训练4.

1）已知斜率为1的直线l经过椭圆x2＋4y2＝4的右焦点交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.

2）已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．

课时小结：

课时作业

一、选择题

1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）

　　 A．4　　　B．5　　　C．7　　　D．8

2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(　　)

　　A．　　　　B． C． D．

3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(　　)

　　A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1

4.如图，经过点P1，P2，P3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则(　　)

A．e3

5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍则m的值为(　　) A． B． C．2 D．4

6．已知焦点在y轴上的椭圆＋y2＝1，其离心率为，则实数m的值是(　　) A．4 B． C．4或 D．

7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分， 求此椭圆标准方程.

8．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，求椭圆的方程．

【答案】 牛刀小试1 C B ＋＝1

　　4.将9x2＋y2＝81化为标准方程 ＋＝1，

　　∴椭圆长轴在y轴上，其中a＝9，b＝3，c＝6，

　　∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，

　　焦点坐标为F1(0，－6)、F2(0,6)，

　　顶点坐标为A1(－3,0)、A2(3,0)、B1(0，－9)、B2(0,9)．

　　离心率为e＝＝.

例一 解析：把已知方程化成标准方程＋＝1，

　　于是a＝4，b＝3，c＝＝，

　　∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝，

　　两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，

四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)

跟踪训练1. ④

例二： 1）椭圆方程为＋＝1或＋＝1 2）＋＝1

跟踪训练2. ＋＝1

例三： e＝－1 跟踪训练3 B

例四 1≤m<5

跟踪训练4 .1） |AB|＝|x2－x1|＝. 2）＋＝1或＋＝1

　　课时作业：[答案]　D A　B　A 　A　B

　　7.　＋＝1或＋＝1 8.＋＝1 课堂随笔:

后记与感悟: