2018-2019学年人教B版选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的基本定理 学案
2018-2019学年人教B版选修2-1  第三章 3.1.2 空间向量的基本定理  学案第1页

3.1.2 空间向量的基本定理

学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论,并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.

知识点一 共线向量定理与共面向量定理

1.共线向量定理

两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数x,使a=xb.

2.向量共面的条件

(1)向量a平行于平面α的定义

已知向量a,作\s\up6(→(→)=a,如果a的基线OA平行于平面α或在α内,则就说向量a平行于平面α,记作a∥α.

(2)共面向量的定义

平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

(3)共面向量定理

如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使c=xa+yb.

知识点二 空间向量分解定理

1.空间向量分解定理

如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.

2.基底

如果三个向量a,b,c是三个不共面的向量,则a,b,c的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,这时a,b,c叫做空间的一个基底,记作{a,b,c},其中a,b,c都叫做基向量.表达式xa+yb+zc,叫做向量a,b,c的线性表示式或线性组合.

1.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( × )

2.若向量e1,e2不共线,则空间任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R).( × )

3.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.( × )

4.对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3}使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3.( × )