2．1柯西不等式

　　[读教材·填要点]

　　1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式

　　(1)定理1(柯西不等式的代数形式)

　　设a1，a2，b1，b2均为实数，则

　　(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2.

　　上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.

　　(2)定理2(柯西不等式的向量形式)

　　设α，β为平面上的两个向量，则

　　|α||β|≥|α·β|

　　上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.

　　(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则

　　＋≥

　　等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得

　　μa1＝λb1，μa2＝λb2.

　　(4)定理4(平面三角不等式)

　　设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则

　　＋≥ .

　　等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得：

　　μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)．

　　(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则

　　|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|

当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．