2018-2019学年北师大版选修2-1 第三章 圆锥曲线与方程 学案
2018-2019学年北师大版选修2-1   第三章  圆锥曲线与方程   学案第1页



1 利用椭圆的定义解题

椭圆定义反映了椭圆的本质特征,揭示了曲线存在的几何性质.有些问题,如果恰当运用定义来解决,可以起到事半功倍的效果,下面通过几个例子进行说明.

1.求最值

例1 线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中点,当P点在同一平面内运动时,PM的长度的最小值是(  )

A.2 B. C. D.5

解析 由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心,A,B为焦点的椭圆,且a=3,c=2,∴b==.于是PM的长度的最小值是b=.

答案 C

2.求动点坐标

例2 椭圆+=1上到两个焦点F1,F2的距离之积最大的点的坐标是________.

解析 设椭圆上的动点为P,由椭圆的定义可知

|PF1|+|PF2|=2a=10,

所以|PF1|·|PF2|≤2=2=25,

当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.

解得|PF1|=|PF2|=5=a,

此时点P恰好是椭圆短轴的两端点,

即所求点的坐标为(±3,0).

答案 (±3,0)

点评 由椭圆的定义可得"|PF1|+|PF2|=10",即两个正数|PF1|,|PF2|的和为定值,结合基本不等式可求|PF1|,|PF2|积的最大值,结合图形可得所求点P的坐标.