导数在研究函数中的应用

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学习目标

1. 利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，B级要求；

2. 利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值，B级要求。

一 知识回顾

1. 基本初等函数的导数公式

　　(1) C′＝ (C为常数)； (2) (xn)′＝ ；

　　(3) (sinx)′＝ ； (4) (cosx)′＝ ；

　　(5) (ax)′＝ ；(a>0且a≠1) (6) (ex)′＝ ；

　　(7) (logax)′＝ ；(a>0，且a≠1) (8) (lnx)′＝ . ]

2. 导数的四则运算法则:若u(x)，v(x)的导数都存在，则

　　(1) (u±v)′＝ ； (2) (uv)′＝ ；

　　(3) ＝ ； (4) (mu)′＝ . (m为常数)

3. 用导数研究函数的单调性：在某个区间(a,b)内,

如果 f'(x)≥0且不恒为0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递 ;

如果 f'(x) , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

4. 函数的极值与导数

极大值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x) ，

右侧f′(x) ，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫做函数的极大值 极小值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x) ，右侧f′(x) ，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫做函数的极小值

5. 函数的最值与导数 学 ]

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；

若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3) 若函数f(x)在[a，b]上不单调：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值．