利用导数研究函数的单调性

课程目标

知识点 考试要求 具体要求 考察频率 利用导数研究函数的单调性 C 掌握函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，熟练地求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 常考 知识提要

利用导数研究函数的单调性

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间  (a,b)  内，如果 fʹ(x)>0，那么函数  y=f(x)  在这个区间内单调递增；如果 fʹ(x)<0，那么函数  y=f(x)  在这个区间内单调递减．

注：在 (a,b) 内可导的函数 f(x) 在 (a,b) 上递增（或递减）的充要条件是 fʹ(x)⩾0（或 fʹ(x)⩽0），x∈(a,b) 恒成立，且 fʹ(x) 在 (a,b) 的任意子区间内都不恒等于 0．

精选例题

利用导数研究函数的单调性

1. 设奇函数 f(x) 定义在 (-π,0)∪(0,π) 上，其导函数为 fʹ(x)，且 f(π/2)=0，当 0

【答案】 (-π/6,0)∪(π/6,π)

【分析】 令 g(x)=f(x)/sinx，因为 f(x) 为奇函数，所以 g(x) 为偶函数．

据条件可知：当 0

因为 g(x) 为偶函数，所以当 -π

当 0