2018-2019学年北师大版选修2-1 第二章第2课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题 学案
2018-2019学年北师大版选修2-1  第二章第2课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题  学案第1页

第2课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题

学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤.

知识点一 向量法判断线线垂直

设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l⊥m⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.

知识点二 向量法判断线面垂直

设直线l的方向向量a=(a1,b1,c1),平面α的法向量μ=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ(k∈R).

知识点三 向量法判断面面垂直

思考 平面α,β的法向量分别为μ1=(x1,y1,z1),μ2=(x2,y2,z2),用向量坐标法表示两平面α,β垂直的关系式是什么?

答案 x1x2+y1y2+z1z2=0.

梳理 若平面α的法向量为μ=(a1,b1,c1),平面β的法向量为ν=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.

1.平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量.(×)

2.两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直.(√)

3.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.(√)

4.两个平面的法向量平行,则这两个平面平行;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(√)

类型一 线线垂直问题

例1 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.