第三课时 球的表面积与体积

　　（一）教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.

　　（2）培养学生空间想象能力和思维能力.

　　2．过程与方法

　　通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.

　　3．情感、态度与价值

　　让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.

　　（二）教学重点、难点

　　重点：球的表面积与体积的计算

　　难点：简单组合体的体积计算

　　（三）教学方法

　　讲练结合

教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课引入 　　复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题. 　　师生共同复习，教师点出点题（板书） 复习巩固 探索新知 　　1．球的体积：

　　2．球的表面积： 　　师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？

　　生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.

　　师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用. 加强对公式的认识培养学生理解能力 典例分析 　　例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：

　　（1）球的体积等于圆柱体积的；

　　（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

　　证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.

　　因为，

　　，

　　所以，.

　　（2）因为，

　　，

　　所以，S球 = S圆柱侧.

例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）

　　A．6:13 B．5:14

　　C．3:4 D．7:15

　　【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.

　　设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.

　　∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，

　　∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.

由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶(r1+r2)2 = 3∶4

(r1 + r2)2 =

V球∶V圆台 =

=故选A.

　　例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.

　　解：∵PA、PB、PC两两垂直，

　　PA = PB = PC = a.

　　∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.

　　又∵P、A、B、C四点是球面上四点，

　　∴球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径.

　　∴.

　　∴

　　　　 　　教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）

　　教师投影例2并读题，

　　师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.

　　生：球内切于圆台.

　　师：你准备怎样研究这个组合体？

　　生：画出球和圆台的轴截面.

　　师：圆台的高与球的哪一个量相等？

　　生：球的直径.

　　师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？

　　生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.

　　师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.

　　师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.

　　教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.

师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P - ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线. 本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.

通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.

本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.