第4节 万有引力理论的成就

{课前感知}

1．地球上的物体具有的重力是由于 而产生的，若不考虑地球自转的影响，地面上的物体所受的重力等于物体受到的 。

所以我们只需测出 和地球表面的 即可求地球的质量。

2．计算中心天体的质量，首先观测围绕中心天体运动的 r和 ，然后根据万有引力提供 由牛顿第二定律列出方程，求得中心天体的质量M= 。

3．海王星是在 年 月 日德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现的，发现的过程是：发现 的实际运动轨道与 的轨道总有一些偏差，根据观察到的偏差数据和万有引力定律计算出 ，并预测可能出现的时刻和位置；在预测的时间去观察预测的位置。

海王星的发现最终确立了 也成为科学史上的美谈。

　　{即讲即练}

【典题例释】 【我行我秀】 【例1】利用下列数据，可以计算出地球的质量的是（ ）

A.已知地球的半径及和地面的重力加速度g

B.已知卫星绕地球匀速圆周运动的半径r和周期T

C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v

D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度r和周期T

【思路分析】设相对地面静止的某一物体质量为m，由GMm/R^2 =mg，得M=gR^2/G.设卫星质量为m，由万有引力提供向心力得GMm/R^2 =mr (4π^2)/T^2 ,得M=(4π^2 r^3)/(GT^2 ) , 设卫星质量为m，由万有引力提供向心力得G Mm/R^2 =m v^2/r 得M=v^2/G

又：v=2πr/T 将r=vT/2π代入上式得M=(v^3 T)/2πG 。

【答案】ABCD

【类题总结】由本题可看出，求地球质量M的方法较多，但常用的A或B中解法。如果已知地球的半径，且把地球视为球体，则可以计算地球的体积以及地球的平均密度。上述计算地球质量和密度的方法，也可用于计算其他天体的质量和密度。

【例2】1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧秤测出质量为m的仪器的重力为F;而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近飞行一周，记下时间为T，试回答：只利用这些数据，能否估算出月球的质量?为什么?

【思路分析】设月球的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，根据万有引力定律求解。

【答案】F=mg=G Mm/R^2 ，

根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有：an=g==()2R

则月球的质量可以表示为M=,所以，在已知引力常量G的条件下才能利用上式估算出月球的质量。

【类题总结】天体质量的计算有多种方法，一定要理解在不同条件下用不同的方法，千万别乱套公式。

【例3】太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上-昼夜的时间是6h。在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%。已知引力常量G=6.67×10^(-11) N·m^2/〖kg〗^2，求此行星的平均密度。

【思路分析】在赤道上，物体随行星自转的圆周运动需要向心力。在赤道上用弹簧秤测量物体的重力比在两极时小，正是减少的这部分提供了物体做圆周运动的向心力。

G Mm/R^2 -F_1=m (4π^2)/T^2 R【答案】设在赤道和两极处所测的读数分别为Fl和F2，在赤道上，物体受万有引力和支持力(大小为所测重力F1)作用绕行星中心做圆周运动，故由牛顿第二定律有：

m (4π^2)/T^2 R=10%G Mm/R^2 在两极，物体平衡，有：G Mm/R^2 -F_2=0，F_2-F_1=10%F_2，

"ρ=" M/V=3M/(4πR^3 )=30π/(GT^2 )≈3.03×10^3 kg/m^3 M=(40π^2)/(GT^2 ) R^3

【类题总结】理解重力和万有引力不同时，常以星球赤道处的物体为例研究其做的圆周运动。注意，当F_"引" 全部充当向心力时，物体就飘起。

【例4】假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径与地球的半之比R火/R地=q ,它们表面处的重力加速度之比是 。

【思路分析】题中没有涉及地球的自转及火星的自转，因而物体在火星和地球表面所受重力可近似看作等于火星或地球对物体的万有引力。

【答案】mg=GMm/R^2 即g=G M/R^2 g∝M/R^2 g_"火" /g_"地" =(M_"火" 〖R_"地" 〗^2)/(M_"地" ·〖〖 R〗_"火" 〗^2 )=p/q^2 【类题总结】求比例关系时，可先写出一般表达式，找出相关量间的正比或反比关系等，如上式由g=GM/R^2 得g∝GM/R^2 然后再求比值，用此比例法解题使题目解起来简捷。

【例5】设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重。若存在这样的星球，它的半径R应多大?

【思路分析】放在地面上的物体，所需向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供的。

【答案】设行星的半径为R，在赤道上质量为m的物体随星体自转，物体受力如下图所示，根据牛顿第二定律得mg^'-F_N=mω^2 R，依题意知F_N=0，所以g^'=ω^2 R。

R=g^'/ω^2 =(g'〖 (T^')〗^2)/(4π^2 )=(0.01×9.8×〖(8.64×10^4)〗^2)/(4×〖3.14〗^2 ) m=1.85×10^7 m在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍，可知g^'=0.01g。自转周期与地球相同，即T^'=T=8.64×10^4 s，可知该星球半径为

【类题总结】地球上的物体受到重力的本质是万有引力，当忽略地球自转影响时，可以认为重力等于万有引力。当地球自转影响不可忽略时，应考虑物体随地球自转所需向心力。 1.在一次测定引力常量的实验中，已知一个质量为0.8kg的球，以1.3×10-10N的力吸引另一个质量为40×10-3kg的球，这两个球相距4.0×10-2m，地球表面的重力加速度为9.8m/s2，地球半径为6400km。试根据这些数据计算地球的质量为多少千克？

2（1）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径R=6.4×10^6 m，地球质量m=6×10^24 kg,日地中心的距离r=1.5×10^11 m，地球表面处的重力加速度g=10m/s^2，1年约为3.2×10^7 s，试估算目前太阳的质量M（保留一位有效数字，引力常量未知）.

3（1）飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 ( )

A.飞船的轨道半径

B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期

　　D.行星的质量

3（2）某行星的平均密度是"ρ" ，靠近行星表面的卫星周期是T，试证明ρT^2为一个常数。

4.质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，则物体所处的高度是 。

5宇宙中两颗相距较近的天体称为"双星"它们以二者连线上的某一点为圆心做圆周运动，而不至因万有引力的作用吸引到一起。

(1)试证它们轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比。

(2)设二者的质量分别为叫和m1和m2，二者相距 L，试写出它们角速度的表达式。