2019-2020学年人教B版必修二 空间几何体的表面积与体积 学案
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2019-2020学年人教A版必修二 空间几何体的表面积与体积 学案

典例精析

题型一 表面积问题

【例1】圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.

【解析】设圆锥的半径为R,母线长为l,圆柱的半径为r,轴截面如图,

S圆锥=π(R+l)R =π(R+R)R=(π+π)R2,

S圆柱=2πr(r+r)=4πr2,

又=,所以=,

所以=.

【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.

【变式训练1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).

(1)试画出它的直观图;

(2)求它的表面积和体积.

【解析】(1)直观图如图所示.

(2)该几何体的表面积为(7+) m2,体积为 m3.

题型二 体积问题

【例2】 某人有一容积为V,高为a且装满了油的直三棱柱形容器,不小心将该容器掉在地上,有两处破损并发生渗漏,其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方,且容器盖也被摔开了(盖为上底面),为减少油的损失,该人采用破口朝上,倾斜容器的方式拿回家,估计容器内的油最理想的剩余量是多少?

【解析】 如图,破损处为D、E,且AD=b,EC=c,BB1=a, 则容器内所剩油的最大值为几何体ABC-DB1E的体积.

因为=,而=,

由三棱柱几何性质知=V, =,

所以=V,

又因为=,所以 VD-ABC=·=,