2.3 向量的坐标表示

一览众山小

诱学导入

1.在初中，我们学习了如何判断一个四边形是平行四边形的方法：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；若一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；若一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形.

在学习平面解析几何时，有这样一个问题:如果一个四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-1，3)，B(3，-2)，C(6，-1)，D(2，4)，则四边形ABCD是否为平行四边形？当时在解决此问题时，用到了两条直线平行的条件和平面上两点间距离公式.

问题:除了上面几种方法之外，你还有没有其他的方法来判断这个四边形的形状？

导入：在直角坐标平面中，点可以用坐标来表示，而向量可以用有向线段表示，如果有向线段的起点坐标和终点坐标确定之后，有向线段就确定了，同样它所表示的向量也就确定了.由向量知识可知当两个向量相等时，它们所对应的有向线段平行且相等或在同一条直线上，且长度相等.根据平行四边形的性质，若要判断一个四边形是否为平行四边形，则只需要判断对边对应的向量是否相等或互为相反向量，由于四边形的四个顶点坐标已给出，要想判断对应边所对应的向量间的关系，就用到了向量的坐标表示及运算.

2.由平面向量基本定理可知,我们选定平面中的一组不共线向量作为基底,则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时,往往根据需要,人为地选定一组基底来表示相关的向量,如在物理学中，学习力的分解时，根据力的作用效果，常把力在水平方向与竖直方向分解；再如图2-3-1，飞机在起飞时以30 km/h的速度斜向上飞，飞行方向与水平方向夹角为30°，这时就可以把它的起飞速度分解为水平方向的速度和竖直方向的速度，用水平方向的速度和竖直方向的速度来描述飞机的运动状态.

图2-3-1

问题:根据上面的这段话，如果要表示直角坐标平面中任意一个向量，该选择什么样的基底？

导入：在直角坐标平面中，点可以用坐标来表示，而向量可以用有向线段表示，如果有向线段的起点坐标和终点坐标确定之后，有向线段就确定了，同样它所表示的向量也就确定了.而根据平面向量基本定理知，若在直角坐标平面中选择两个不共线的向量e1，e2作为基底时，在该坐标平面内的任一向量a都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，其中λ1、λ2是一组唯一确定的实数，因此就可以用一组实数对(λ1，λ2)来表示这一向量了，但基底选择不同，这组实数对也不同，根据上面的材料，这组基底可以选择两个互相垂直的向量，而为了表示方便，这两个向量应分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，这样就可以建立向量和坐标之间的关系及点与向量间的关系了，为进一步研究向量带来了方便.

温故知新

1.向量加法的定义及运算律是什么？

答:求两个向量的和的运算叫做向量的加法.

向量的加法同实数的加法相似，满足加法的交换律和结合律.

(1)向量加法的交换律：a+b=b+a；

(2)向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2.如何利用向量加法的三角形法则求两个向量的和向量？