2019-2020学年北师大版选修2-2  直接证明与间接证明 学案
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14.2 直接证明与间接证明

典例精析

题型一 运用综合法证明

【例1】设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.

【证明】因为a+b=1,

所以++=++=1++1++≥2++=2+2+4=8,当且仅当a=b=时等号成立.

【变式训练1】设a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.

【证明】因为a,b,c>0,根据基本不等式,

有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.

即++≥a+b+c.

题型二 运用分析法证明

【证明】由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,

故要证I2<4S,只需证a2+b2+c2+2S<4S,即a2+b2+c2<2S.

欲证上式,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,

即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0,

只需证三括号中的式子均为负值即可,

即证a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb,

即a<b+c,b<a+c,c<a+b,

显然成立,因为三角形任意一边小于其他两边之和.

【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点,可探求解题途径.

(2)应用分析法证明问题时要注意:严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.

【变式训练2】已知a>0,求证:-≥a+-2.

【证明】要证-≥a+-2,