课 题 学 ]

课 型 利用函数性质判定方程解的存在 年级 学 ] 高一 新授 主备人 复备人 教 学

目 标 1.让学生明确"方程的根"与"函数的零点"的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.

2.通过本节学习让学生掌握"由特殊到一般"的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.

3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验"数学语言"的严谨性，"数学思想方法"的 学性,体会这些给他们带来的快乐.

重 点 零点的概念及其存在性的判定 难 点 零点的确定 器 材 教学过程 导入新课

思路1.(情景导入)

据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).

请问：整场足球比赛出现几次"比分相同"的时段?学生思考或讨论回答：

三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过"比分相同"时段;(3)由落后到领先必经过"平分"时段.

教师点拨：足球比赛有"落后""领先""比分相同",函数值有"负""正""零",函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.

思路2.(事例导入)

(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数

关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？

炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.

图3-1-1-1

思路3.(直接导入)

教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.

提出问题

①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.

②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.

③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.

④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?

⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?

⑥归纳函数零点的概念.

⑦怎样判断函数是否有零点？

⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？

活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:

问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).

问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).

问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).

问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.

问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？

问题⑥:函数的零点是一个实数.

问题⑦:可以利用"转化思想".

问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过"平分"？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？

讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.

②方程的实数根为1.

③方程没有实数根.

④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.

⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.

⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

⑦方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.

⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］

上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］

同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.

图3-1-1-2 图3-1-1-3 图3-

课堂小结

本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.

学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想。