课堂导学

三点剖析

一,运用归纳推理发现新事实,获得新结论

【例1】 在平面内观察:

凸四边形有2条对角线,

凸五边形有5条对角线,

凸六边形有9条对角线

......

由此猜想凸n边形有几条对角线?

解:凸四边形有2条对角线;

凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;

凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条;

......

于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+...+(n-2)=n(n-3)(n≥4,n∈N*).

温馨提示

归纳推理是由部分到整体\,由个别到一般的推理,是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法,必须认真学习领会.在归纳推理的过程中,应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系,如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量观察分析,才能发现其对角线条数的增加规律.

二,运用类比推理揭示事物相似(相同)的性质

【例2】 类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.

解:(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.

(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a；a+b=b+a.

(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).

(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.

(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.

温馨提示

类比是对知识进行理线串点的好方法,在平时的数学学习与复习中,常常以一两个对象为中心,把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表,便于记忆与运用.

三,利用合情推理探索新结论拓展知识

【例3】 在△ABC中,余弦定理可叙述为a2=b2+c2-2bccosA,其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.

解:S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面积,α、β、γ依次表示平面PAB与平面PBC,平面PBC与平面PCA\,平面PCA与平面PAB所成二面角的大小,猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为S2=S12+S22+S32-2S1S2cosα-2S2S3cosβ-2S3S1cosγ.

上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方,等于其他各面面积平方的和,减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.

关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理来证明三角形余弦定理的方法,给出较简捷的证法.

各个击破