10.3 空间点、线、面之间的位置关系

典例精析

题型一　证明三线共点

【例1】 已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且＝＝2.求证：直线EG、FH、AC相交于同一点P.

【证明】因为E、F分别是AB、AD的中点，

所以EF∥BD，且EF＝BD.

又因为＝＝2，所以GH∥BD，且GH＝BD，

所以EF∥GH且EF＞GH，

所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，

设两腰EG、FH的延长线相交于一点P，

因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，

所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，

故直线EG、FH、AC相交于同一点P.

【点拨】证明三线共点的方法：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.

【变式训练1】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K. 求证：M、N、K三点共线.

【证明】

⇒

⇒M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.

题型二　空间直线的位置关系

【例2】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.

求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥A1B1.

【证明】因为E为CD的中点，在正方体中AE⊂平面ABCD，

又AE∩BC＝F，所以F∈AE，所以F∈平面ABCD，

同理G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.

因为ECAB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD，

所以在正方体中CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，